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原点と半径の延長と円の接線からなる三角形を考えると、外側の部分はtanθ、弧の長さはθ。tan(θ)-θの符号を考えると、d(tanθ - θ)/dθ = 1/(cosθ)^2 - 1だから、正方形より細かい図形で囲むなら0<θ≦π/4なのでtan(θ)-θは単調。一方tan(π/4)-π/4≧0、tan(0)-0=0だから常に非負。したがってtan(θ)>θ、すなわち外側は円弧より長い ■
原点と半径の延長と円の接線からなる三角形を考えると、外側の部分はtanθ、弧の長さはθ。tan(θ)-θの符号を考えると、d(tanθ - θ)/dθ = 1/(cosθ)^2 - 1だから、正方形より細かい図形で囲むなら0<θ≦π/4なのでtan(θ)-θは単調。一方tan(π/4)-π/4≧0、tan(0)-0=0だから常に非負。したがってtan(θ)>θ、すなわち外側は円弧より長い ■